Kijk Quatuor pour la fin du temps

Olivier Messiaens Quatuor pour la Fin du Temps ging op 15 januari 1941 in premiere in het krijgsgevangenenkamp waar de componist gedurende de Tweede Wereldoorlog geïnterneerd was.
Nu, precies 75 jaar later, hebben animator Simon Russell en wiskundige Marcus du Sautoy hun krachten gebundeld en deze ongelooflijk gedetailleerde visualisatie gemaakt van het eerste deel van dit indrukwekkende werk: Liturgie de cristal.
Hieronder worden een aantal van de wiskundige concepten die ten grondslag liggen aan deze compositie en aan de animatie uitgelegd.

Fibonacci Spiraal

De reeks van Fibonacci bevat misschien wel de belangrijkste getallen in de natuur. In de reeks, die is vernoemd naar de 13e-eeuwse Italiaanse wiskundige Fibonacci, wordt ieder volgend getal verkregen door optelling van de twee voorgaande getallen: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 enz. Fibonacci ontdekte dat deze reeks getallen en de spiraal die hierop gebaseerd is, vaak in de natuur is terug te vinden. Dat is de reden dat je ze ook overal op het drijvende eiland in deze clip zult tegenkomen.

Het zaadhoofd dat we in het filmpje zien op 1’01” bijvoorbeeld – hierboven afgebeeld -, groeit op de muziek en volgens de reeks van Fibonacci. Als het zaadhoofd draait, zie je op een natuurlijke manier Fibonacci spiralen ontstaan. In de natuur is het aantal bloemblaadjes van een bloem ook vaak een Fibonacci getal. Zie je nog meer voorbeelden van het gebruik van deze reeks in de animatie? Tegen het einde van het filmpje zie je ook hoe belangrijk deze reeks getallen voor de muziek is.

Gulden Snede

Aan de linkerkant van boven beschreven bloem vind je een pentagram, in het filmje te zien op 1’07”. Hierin zit een belangrijk wiskundig concept verborgen, de gulden snede genaamd. De gulden snede is sterk gerelateerd aan de reeks van Fibonacci.
Wat is de gulden snede? Wanneer twee lijnen van lengte a en een kleinere lengte b zich verhouden als in de gulden snede, geldt dat de verhouding van a tot b dezelfde is als de verhouding van a+b tot a.
Wiskundig opgeschreven is dat a:b=(a+b):a.

Veel van de lijnen in deze geanimeerde sculptuur verhouden zich als in de gulden snede. Een rechthoek met deze verhoudingen wordt door velen beschouwd als esthetisch het meest aantrekkelijk in zijn soort. In de muziek hebben componisten als Debussy, Bartók en zelfs Mozart deze verhouding gebruikt om een belangrijk moment in een compositie te markeren.

Priemgetallen

In het hart van het drijvende eiland in de animatie staat een ‘wiskundige machine’ die ten grondslag ligt aan Liturgie de cristal, het eerste deel van van Messiaens Quatuor pour la fin du temps. De twee in elkaar grijpende raderen bepalen hoe de pianopartij van dit deel evolueert (1’25”). Het onderste rad heeft 17 tanden en geeft een sequentie aan die bestaat uit 17 nootlengtes, een ritme dat zich voortdurend herhaalt. De harmonie wordt bepaald door de bovenste schijf, die 29 tanden heeft. Elke tand komt overeen met een akkoord dat op de piano wordt gespeeld. Deze 29 akkoorden worden telkens na een volledige cirkel herhaald. Ritme en harmonie verschuiven dus voortdurend ten opzichte van elkaar.

Messiaen koos radertjes waarbij het aantal tanden priemgetallen zijn: 17 en 29. Pas wanneer de radertjes 17×29=493 kliks versprongen zijn, is de machine weer terug op het uitgangspunt en zal de muziek zich gaan herhalen. Het stuk is echter voltooid voordat dit gebeurt. Deze truc van het gebruik van priemgetallen om dingen uit sync te houden wordt in de natuur onder meer gebruikt door een cicade-soort die leeft in Noord-Amerika. Door slechts elke 17 jaar te verschijnen voorkomen de krekels een ontmoeting met hun natuurlijke vijand die met een andere regelmaat in het bos verschijnt. De cicaden zijn te vergelijken met Messiaens ritme, het roofdier met de akkoorden.

M12

De uitkijktorens die het drijvende eiland bewaken (2’00”) verbergen nog een ander mathematisch geavanceerd idee van cyclische herhaling dat Messiaen gebruikt in een andere compositie, namelijk Ile de Feu II. Dit stuk voor solo piano is gebaseerd op Schönbergs twaalftoonstechniek. Hierbij wordt een thema gevormd door de volgorde waarin de 12 tonen van de chromatische toonladder worden gespeeld. In Ile de Feu II heeft Messiaen gekozen voor een rangschikking van de 12 noten die overeenkomt met de zogenaamde Mongean shuffle – filmpje.

De variaties op de zo verkregen reeks worden gevormd door het steeds opnieuw herhalen van dezelfde manier van ‘schudden’ van de eerder verkregen volgorde van 12 tonen. Als we de wachttorens in de animatie bestijgen, vormt het rooster zich bij elke stap naar de volgende herschikking.

Fibonacci revisited

Messiaen was gefascineerd door Indiase ritmes, de talas. Dit zijn ritmische notenreeksen van verschillende lengtes en met verschillende indelingen. Eigenlijk waren het de analyses van Indiase musici van de verschillende ritmische samenstellingen met lange en korte noten die aanleiding gaven tot de ontdekking van de Fibonacci getallen, al enkele eeuwen voordat Fibonacci zich realiseerde dat dit belangrijke getallen in de natuur waren.
Bedenk hoeveel verschillende ritmes je kunt maken binnen een maat van vier tellen met twee verschillende notenwaarden: kort-kort-kort-kort, lang-lang, kort-kort-lang, lang-kort-kort, kort-lang-kort. Dat is een totaal van vijf verschillende ritmes – een Fibonacci getal. De Indiase musici ontdekten dat als je de lengte van het ritme opvoert, de reeks Fibonacci-getallen je vertelt hoeveel nieuwe ritmes je kunt vormen.

De muur die het drijvende Messiaen-eiland omsluit, toont alle ritmes die je kunt maken binnen acht slagen: een totaal van 34 verschillende.

Marcus du Sautoy is de Simonyi Professor for Public Understanding of Science en Professor of Mathematics aan de Universiteit van Oxford. Hij is auteur van verschillende boeken, waaronder The Music of the Primes (De muziek van de priemgetallen).

Lees en luister ook

• Kinderklassiek Raar, maar waar:
  Natuurkunde achter muziek

• Top 10 Componisten uit de twintigste eeuw

• Componist Igor Stravinsky

• Fotoalbum Componisten met hun dieren

• Album van de week Erik Satie

• Muziek en Slaap